Дуополия.
Лучше понять закономерности поведения фирмы на олигополистическом рынке позволяет анализ дуополии, т. е. простейшей олигополистической ситуации, когда на рынке действуют только две конкурирующие между собой фирмы. Главная особенность моделей дуополий
состоит в том, что выручка и, следовательно, прибыль, которую получит фирма, зависит не только от ее решений, но и от решений фирмы-конкурента, также заинтересованной в максимизации своей прибыли. Процесс принятия решения на дуополистическом рынке это когда игрок ищет самые сильные ответы на возможные варианты хода своего противника.
Модель Курно.
Существует много моделей олигополии, и ни одну из них нельзя считать универсальной, тем не менее общую логику поведения фирм на этом рынке они объясняют. Первая модель дуополии была предложена французским экономистом Огюстеном Курно еще в 1838 г.
Модель Курно анализирует поведение фирмы-дуополиста исходя из допущения, что ей известен объем выпуска продукции, который ее единственный конкурент уже выбрал для себя. Задача фирмы состоит в том, чтобы определить собственный размер производства, сообразуясь с решением конкурента как с данностью. На рис. 9.2 показано, каким было бы поведение фирмы в таких условиях.
Рис. 9.2.
Поведение фирмы-дуополиста в краткосрочном периоде
Краткосрочный период
Чтобы не усложнять график, мы сделали два дополнительных упрощения. Во-первых, приняли, что оба дуополиста ¾ совершенно одинаковые, ничем не отличающиеся компании. Во-вторых, допустили, что предельные издержки обеих фирм постоянны: кривая MC идет строго горизонтально.
Допустим вначале, что фирме № 1 твердо известно, что конкурент не собирается вообще ничего выпускать. В этом случае фирма № 1 фактически является монополией. Кривая спроса на ее продукцию (D 0) поэтому совпадет с кривой спроса всей отрасли. Соответственно кривая предельного дохода займет некоторое положение (MR 0). Пользуясь обычным правилом равенства предельного дохода и предельных издержек MC = MR, фирма № 1 установит оптимальный для себя объем производства (в изображенном на графике случае ¾ 50 ед.) и уровень цен (Р 1).
А если фирме № 1 станет известно, что ее конкурент сам намерен выпустить 50 ед. продукции по цене Р 1 ? На первый взгляд может показаться, что тем самым он исчерпает весь объем спроса и вынудит фирму № 1 отказаться от производства. Однако это не так. Если фирма № 1 установит на свою продукцию цену Р 1 , то спроса на нее действительно не будет: те 50 ед., которые рынок готов принять по этой цене, уже поставлены фирмой № 2. Но если фирма № 1 установит цену Р 2 , то общий спрос рынка составит 75 ед. (см. кривую спроса отрасли D 0). Поскольку фирма № 2 предлагает только 50 ед., то на долю фирмы № 1 останется 25 ед. (75-50 = 25). Если же цена будет опущена до Р 3 , то, повторив аналогичные рассуждения, можно установить, что потребность рынка в продукции фирмы № 1 составит 50 ед. (100-50 = 50). Легко понять, что перебирая разные возможные уровни цен, мы будем получать и разные уровни потребности рынка в продукции фирмы № 1. Иными словами, на продукцию фирмы № 1 сформируется новая кривая спроса (на нашем графике ¾ D 1) и соответственно новая кривая предельного дохода (MR 1). Снова, использовав правило MC = MR, можно определить новый оптимальный объем производства (в нашем случае он составит 25 ед.).
Равновесие Курно.
Чтобы лучше уяснить все последствия этой закономерности, обратимся к рис. 9.3. По горизонтали откладываются размеры производства одной фирмы, по вертикали - другой. Размеры выпуска продукции фирмой № 1 изображены как кривая реакции на объем производства фирмы № 2. Аналогичным образом выпуск продукции фирмой № 2 представлен как функция от объема производства фирмы № 1:
Q(1) = f (Q(2)), Q(2) = f (Q(1)), где Q(1) ¾ объем производства фирмы № 1, а Q(2) ¾ объем производства фирмы № 2.
Рис. 9.3.
Равновесие Курно
Посмотрим, смогут ли обе фирмы установить взаимоприемлемые объемы производства? Все данные для графика мы взяли из предыдущего примера. Так, если о фирме № 2 известно, что она собирается выпустить 75 ед. продукции, то фирма № 1 примет решение о выпуске 12,5 ед. (см. точку А). Но если фирма № 1 действительно выпустит 12,5 ед., то, как видно на графике, фирма № 2 в соответствии со своей кривой реакции должна выпустить не 75, а 42,5 ед. (точка В). Но такой уровень выпуска продукции конкурентом вынудит фирму № 1 выпустить не 12,5 ед., как она собиралась, а 29 ед. (точка С) и т. д. Легко заметить, что уровень производства, устанавливаемый компанией исходя из сложившегося размера производства конкурента, каждый раз оказывается таким, что заставляет последнего пересмотреть его. Это вызывает новую корректировку объема производства первой фирмы, что в свою очередь снова изменяет планы второй, т. е. ситуация является неустойчивой, неравновесной. Однако существует и точка устойчивого равновесия ¾ это точка пересечения кривых реакции обеих фирм (на графике ¾ точка О). В нашем примере, фирма № 1 выпускает 33,3 ед., исходя из того, что конкурент выпустит столько же. А для последнего выпуск 33,3 ед. действительно является оптимальным. Каждая из фирм выпускает объем продукции, максимизирующий ее прибыли при данном объеме производства конкурента. Ни одной из фирм не выгодно менять объем производства,
следовательно, равновесие устойчиво. Оно получило в теории название равновесия Курно. Под равновесием Курно
понимается такое сочетание объемов выпуска каждой из фирм, при котором ни у одной из них нет стимулов для изменения своего решения: прибыль каждой фирмы максимальна при условии, что конкурент сохранит данный объем выпуска. Или по-другому: в точке равновесия Курно ожидаемый конкурентами объем выпуска продукции любой из фирм совпадает с фактическим и при этом является оптимальным. Существование равновесия Курно свидетельствует о том, что олигополия как тип рынка может быть устойчивой, что она не обязательно ведет к череде непрерывных, болезненных пределов рынка олигополистами. Математическая теория игр показывает, что равновесие Курно при одних допущениях о логике поведения дуополистов достигается, а при других ¾ нет. При этом решающее значение для достижения равновесия является понятность (предсказуемость) действий партнера-конкурента и готовность его к кооперативному поведению с соперником.
Первая модель олигополии была предложена французским экономи- стом-математиком А. О. Курно в 1838 г. Его модель в упрощенном варианте была рассчитана на функционирование на рынке всего лишь двух фирм.
Предполагается, что также выполняется условие второго порядка SOC (second optimum
condition ):
Э 2 я,(Р,.Р 2) ЭР, 2
(Однако чуть позже мы рассмотрим его модель для случаяе присутствия на рынке любого числа фирм.)
Курно исходил из того, что обе фирмы производят однородный товар (минеральную воду), что им известна кривая рыночного спроса (линейного вида), что их операционные затраты равны 0 (это значит - предельные затраты тоже нулевые). Каждый дуополист исходит из предположения, что его соперник не изменит своего выпуска в ответ на его собственное изменение производства (случай нулевой предположительной вариации ). Другими словами, определяя свой выпуск исходя из требований максимизации прибыли, каждая из сторон полагает выпуск соперника заданным. Как мы видим, именно выпуск Курно считал управляемым параметром. Такой подход вполне традиционен. При совершенной конкуренции цена не зависит от выпуска отдельной фирмы. Наоборот, выпуск является единственной управляемой переменной. Монополист может выбрать, чем управлять - ценой или выпуском (но не обоими параметрами одновременно!). Выпуск олигополиста зависит от выпуска его конкурентов. (Именно такой подход выбрал Курно.) Но и от выбора цены конкурентами зависит поведение олигополиста. (По этому пути, как мы увидим ниже, пошел другой французский математик - Ж. Бертран.)
Но вернемся к модели дуополии Курно. Рассмотрим сначала ее на графике (рис. 16.1).
Рис. 16.1.
Пусть первой начнет производить первая фирма. На первом шаге она окажется монополистом и в соответствии с условием MR = МС (при МС = = 0) выберет выпуск ц х. Кстати, это будет половина рыночного спроса
=|(2 (отрезок0, л) j. В соответствии с кривой рыночного спроса будет установлена цена Р А.
На втором шаге начинает производить вторая фирма, которая будет рассматривать выпуск первой как данность. Отрезок AD кривой спроса PD
вторая фирма посчитает кривой остаточного (неудовлетворенного ) рыночного спроса со своей кривой предельной выручки (MR 2 ). Поскольку предельные затраты по-прежнему нулевые, вторая фирма выберет выпуск, равный отрезку q x q 2 . 1/2 от остаточного спроса q x D и 1/4 от всего объема рыночного спроса при нулевой цене - 0D. Соответственно, для 3/4 рыночного спроса цена опустится до уровня Р в.
Затем снова наступает очередь первой фирмы. Она учитывает, что 1/4 рыночного спроса покрывается (отсекается) второй фирмой. И для нее остаточный спрос - это 3/4 рыночного. Она покроет половину от него, т.е. 3/8 (вместо 1/2 на первом шаге).
Если продолжить рассмотрение в том же духе, то нетрудно будет убедиться, что на каждом шаге доля первой фирмы будет неуклонно сокращаться, пока не достигнет 1/3 общего рыночного спроса. Наоборот, доля второй фирмы будет постоянно возрастать, пока также не достигнет 1 /3 рыночного спроса. В этот момент и наступит равновесие дуополии Курно.
Покрывая совместно 2/3 рыночного спроса при единой цене, каждый дуополист обеспечивает максимум своей прибыли. Но это не максимум общей отраслевой прибыли, который мог бы быть достигнут, если бы обе фирмы договорились и действовали как монополия. Соответственно, и цена была бы выше - на уровне монопольной (Р А - в нашем примере). О том, что такое возможно и что для этого не требуется даже явного сговора, впервые сказал Э. Чемберлин (модель дуополии Чемберлина).
Дуополисты, по его мнению, не будут столь наивны, чтобы считать, что выпуск соперника останется неизменным в ответ на их собственные действия: «Если каждый продавец рационально и разумно стремится максимизировать свою прибыль, то он поймет, что когда действуют только два или несколько продавцов, его собственные действия оказывают существенное влияние на конкурентов. Поэтому бессмысленно предполагать, что они оставят без ответа потери, которые обусловлены его действиями» . Дуополисты быстро поймут, что лучше поделить монопольный выпуск пополам (т.е. «взять» по 1/4 общего рыночного спроса). Тогда и рыночная цена, и их прибыль будет выше.
Возвращаясь к нашему графику, отметим, что первые шаги обеих фирм будут теми же. Но вот на втором своем шаге первая фирма, понимая, что соперник реагирует па ее действия, сократит свой выпуск с 1/2 рыночного спроса не до 3/8, а до 1/4 ОD (отрезок 0q{). При этом цена возвратится на монопольный уровень Р Л. Вторая фирма, в свою очередь, понимает, что если она попытается расширить выпуск за пределы «своей» четверти рынка, то это приведет к падению рыночной цены, ответным действиям со стороны первой фирмы, дальнейшему падению цены и ее прибыли. Таким образом, убедившись в своей взаимозависимости и заинтересованности в высокой цене, дуонолисты «свободно и добровольно» выберут вариант совместной монополии, не прибегая даже к тайному соглашению.
Действия дуополистов в модели Курно можно наглядно продемонстрировать с помощью еще одного графика, на котором изображены кривые реагирования RС {reaction curve) или, иначе, кривые наилучшего ответа BR {best response) (рис. 16.2).
Рис. 16.2. Изопрофиты и кривые реагирования первого (а) и второго (б) дуополистов в модели Курно
Но чтобы построить эти кривые, необходимо использовать такое уже известное нам понятие, как изопрофиты. Напомним, что в самом общем плане под изопрофитами понимаются кривые, образованные множеством комбинаций двух (или более) независимых переменных функции прибыли , обеспечивающих одну и ту же величину прибыли.
В модели Курно этими переменными являются выпуски обеих фирм. Так, каждая изопрофита первой фирмы в пространстве выпусков обеих фирм (рис. 16.2, а) представляет собой множество комбинаций q x и q 2 , обеспечивающих этой фирме один и тот же объем прибыли. В принципе таких изопрофит может быть построено сколько угодно {карта изопрофит). Аналогичным образом строится карта изопрофит второго дуополиста (рис. 16.2, б).
Можно вывести уравнения изопрофит для каждой из фирм. Пусть обратная функция рыночного спроса имеет линейный вид: P{Q) = a-b Q. А в случае дуополии Курно: P{q x + q 2) = a-b {q { + q 2). Суммарные затраты {ТС) можно представить как с q x и с q 2 соответственно, где с - удельные средние издержки, равные у обеих фирм.
Функции прибыли обеих можно записать так:
или
Если какой-то уровень прибыли фирмы берется за постоянную величину: п х и п 2 , то уравнения вида
и являются уравнениями изопрофит.
Обратим внимание, что изопрофиты вогнуты к оси того дуополиста, чьи изопрофиты изображены на графике. Форма изопрофит показывает, как будет реагировать фирма на действия соперников, пытаясь сохранить достигнутый уровень прибыли. Чем ближе расположена изопрофита к своей оси, тем больший объем прибыли она отображает. Максимально возможную прибыль первая фирма могла бы получить в точке А, когда выпуск второй фирмы был бы нулевым, а ее собственный - наибольшим (монопольным). Максимум прибыли второй фирмы мог бы быть достигнут в точке В (см. рис. 16.2). Это справедливо, если учесть, что чем ближе изопрофита подходит к своей оси, тем меньше выпуск конкурента. Для любого заданного (выбранного) выпуска одной фирмы можно найти единственный выпуск другой фирмы, который обеспечит последней максимум прибыли. Очевидно, что это должна быть точка касания какой-то из изопрофит. Например, на графике 16.2, а для заданного выпуска второй фирмы q 2 это точка L, определяющая оптимальный выпуск q x первой фирмы. На графике 16.2, б - соответственно точка М, определяющая оптимальный выпуск второй фирмы (q 2), обеспечивающий ей максимум прибыли при заданном выпуске первой фирмы (q {).
Геометрическое место всех таких точек описывает кривую реакции соответствующей фирмы на любой фиксированный выпуск соперника 1 .
Можно получить выражение, отражающее реакцию каждой фирмы на заданный объем выпуска соперника. Для этого вспомним, что максимум прибыли достигается при равенстве MR = МС.
MR можно получить, взяв первую частную производную выражений
А МС - как производные от cq l и cq 2 .
Решив эти уравнения относительно q { iq 2 , получим функции, связывающие максимизирующий прибыль уровень производства первой (второй) фирмы с объемом производства второй (первой) фирмы:
1 Кривые реакции (реагирования) образуются множеством точек наивысшей прибыли, которую может получить один из дуополистов при заданной величине выпуска другого.
Эго и есть уравнения кривых реагирования дуополистов.
Точка пересечения кривых реагирования обоих дуополистов, совмещенных в одном двухмерном пространстве выпусков, соответствует равновесию Курно (рис. 16.3).
Рис. 163. Функции реагирования дуополистов и равновесие в модели Курно (CN)
Равновесные выпуски дуополистов Курно определяют взаимной подстановкой. После чего имеем
Равновесные выпуски дуополистов являются координатами точки равновесия Курно - Нэша .
^ 2 {а-с)
- ()ощии выпуск дуополистов: у ~Ч +? = -;-
Так как вторые производные функции прибыли меньше нуля:
то в точке равновесия Курно дуополисты действительно получают максимум прибыли.
Подставив выражения q wq 2 B
уравнение обратной функции спроса: (Р(Q) = a - bQ),
получим значение равновесной цены на рынке дуополии Курно:
Кривые реагирования в модели Курно можно использовать для наглядной иллюстрации последовательных шагов дуонолистов (рис. 16.4).
Рис. 16.4.
Допустим, что, как и раньше, начинает первая фирма, которая на первом шаге является монополистом. Она выбирает выпуск на уровне половины (а-с }
рыночного спроса qj = - . Для данного выпуска у второй фирмы есть
только один оптимальный ответ, соответствующий точке на кривой RC 2 .
4 (I С
Это выпуск qk = -- .
Реагируя на выпуск второй фирмы как заданный, первая фирма сократит свое производство до q( (соответствует точке В на кривой RC X). Опять наступает время реагирования второй фирмы. Она увеличит свой выпуск до уровня q 2 (точка F на кривой RC 2)?
1 (а - с ^
Нэша (CN) с выпуском на уровне - рыночного спроса -- .
В случае картельного соглашения или негласного разумного выбора
{модель Чемберлина ) дуополисты выберут выпуск по - от рыночного
(а-с Л 4
спроса -- , что соответствует точке М на графике.
Модель олигополии Курно для случая с любым количеством производителей на рынке
Модель Курно может быть распространена на отрасль с любым числом одинаковых фирм.
Самой простой случай, когда на рынке действует только одна фирма (монополист). На первом же шаге она выберет оптимальный выпуск на уровне
Подставив полученное выражение в обратную функцию спроса: Р = а- - bQ, мы придем к выражению оптимальной цены монополиста:
Сравнив монопольный выпуск с общим выпуском дуополистов:
отметим, что монопольный - меньше. Цена же, наоборот, при монополии будет выше:
Если действовать в обратном направлении, то нетрудно будет убедиться, что по мере роста числа фирм на рынке рыночная структура все больше будет отвечать требованиям совершенной конкуренции (при п ->°°). При этом отраслевой выпуск будет возрастать, а рыночная цена снижаться.
Пусть в отрасли имеется п фирм. Функция затрат г-й фирмы: ГС,(г/,) (при г = 1 ... п ). P{q x + ... + q n) - обратная функция рыночного спроса (в общем случае - нелинейная).
Представим прибыль г-й фирмы отрасли:
Как определить равновесие на рынке, когда выпуск каждого зависит от действий других?
Представим, что такие равновесные выпуски всех фирм есть q x ,q 2 ,...,q n .
Для любой 2-й фирмы должно выполняться следующее условие: Теперь выпишем систему неравенств для всех фирм отрасли:
Из этой системы неравенств вытекает, что если все другие фирмы сохранили равновесные выпуски, то оставшейся фирме нет смысла изменять выпуск, так как это будет явное ухудшение ее положения.
Условие первого порядка, которое должно выполняться для i-й фирмы
{mRj - mcj ) :
В модели олигополии Курно TC,(q,) = с? q v Это значит, что у всех фирм отрасли предельные затраты равны и постоянны: тс = с. Обозначим через МС суммарные отраслевые предельные затраты: МС = с? п.
Просуммируем следующие уравнения:
и отнимем выражение - :
Выражение в квадратных скобках - предельная выручка (MR):
Итак, имеем условие равновесия Курно для отрасли с п фирмами.
Если обратная функция отраслевого спроса имеет линейный вид: Р(Q) = = а - b Q, то MR(Q ) = а - 2Ь Q. Подставим их в предыдущее уравнение (условие равновесия Курно для отрасли с п фирмами):
Решив полученнное уравнение относительно Q*, имеем
1 Ьскольку q = q* 2 = ... = q* n = - Q, то q = q* 2 = - = q* n = -^7*
П 0 /7 + 1
Чем больше фирм в отрасли, тем ближе к единице становится сомножитель --. Соответственно, суммарный выпуск всех производителей 1 + п
на рынке приближается к отраслевому спросу, который практически полностью удовлетворяется только при совершенной конкуренции.
Вернувшись к последнему графику (см. рис. 16.4), можно видеть и точку равновесия рынка совершеной конкуренции (PC). Если бы дуо- полисты согласились на цену на уровне предельных (и средних) затрат, то они также смогли бы удовлетворить весь отраслевой спрос 2 .
Получив выпуск олигополистического рынка для п фирм, можно вывести и уравнение цены этого рынка:
С ростом п первое слагаемое стремится к нулю, а второе и, следовательно, сумма (т.е. цена) стремятся к с - уровню средних и предельных издержек.
Теперь можно определить, чему будет равна прибыль каждой фирмы:
Общая прибыль в отрасли составит
- 1 При совершенной конкуренции по определению долгосрочная прибыль как типичной фирмы, так и отрасли в целом равна нулю: я (* = Р? Q - с Q = 0. При линейной обратной функ-
- (I - с
ции спроса Р = а - b Q имеем: к гк = (я - /> Q) Q = 0 => Q, = 0 и Q, = --.
- 2 Следует обратить внимание на то, что у Курно была совершенно необычная логика рассмотрения рыночных структур - от чистой монополии и дуополии к совершенной конкуренции как предельному случаю. Обычно рыночные структуры рассматриваются в обратной пос л едовател ы юсти.
Нетрудно заметить, что с ростом числа симметричных фирм на рынке прибыль каждой будет быстро убывать. Общая прибыль тоже, хотя и медленнее.
- Chamberlin Е. Н. The Theory of Monopolistic Competition. Cambridge: Harvard UniversityPress, 1933. P. 18.
- Равновесие в модели Курно оказалось частным случаем «равновесия по Нэшу»(Дж. Нэш - нобелевский лауреат по экономике 1994 г.). Говорят, что рынок находитсяв состоянии Нэша, если каждая фирма придерживается стратегии, являющейся лучшимответом на стратегии, которых придерживаются другие производители отрасли (см.: Nash J.Equilibrim Points in w-Person Games // Proceedings of the National Academy of Siences USA.1950. Vol. 36. P. 48-49).
- MR, = TR"(q,) = (Р? q,)’ no q,= P" q, + P.
В дуополии Курно предельные издержки каждой из фирм постоянны и равны 10. Спрос на рынке определяется соотношением Q = 100 - р.
a) Определите функции наилучшего ответа для каждой из фирм.
b) Каков выпуск каждой из фирм?
Сравните совокупный выпуск дуополии Курно с выпуском картеля.
Дайте графическую иллюстрацию: обозначьте точку Курно-Нэша, точки, при которых фирма имеет монопольный выпуск и конкурентный объем производства.
Решение
где: Q = q1 + q2
P = a - (q1 + q2)
Прибыли дуополистов:
П = TR – ТС = P*Q - С*Q
П = (a–bQ)*Q - С*Q = аQ–bQ 2 -CQ
П1 = aq 1 - q 1 2 - q 1 q 2 - cq 1 ,
П2 = aq 2 - q 2 2 - q 1 q 2 - cq 2 .
Условие максимизации прибыли:
1) (aq 1 - q 1 2 - q 1 q 2 - cq 1) I = 0 2) (aq 2 - q 2 2 - q 1 q 2 - cq 2) I = 0
а - 2q 1 - q 2 – c = 0 а - 2q 2 - q 2 – c = 0
а = 2q 1 + q 2 + c а = 2q 2 + q 1 + c
q 1 = (а - с) / 2 – 1/2 q 2 q 2 = (а - с) / 2 – 1/2 q 1
Найдем равновесные объемы по Курно:
q 1 * = (a – c)/2 – 1/2 * ((a – c)/2 – 1/2 q 1)
¾ q 1 = (a – c)/4
q 1 * = (a - c)/3 = (100 – 10) / 3 = 30 ед.продукции
Р = а – 2(a – c)/3 = (а + 2с) / 3 = (100+2*10)/3 = 40
Картельный сговор:
TR = P*Q = Q*(100 – Q) = 100Q-Q 2
MR = 100 – 2Q = МC
P=100-45=55, следовательно q= 45/2 = 22,5 единицы продукции.
Задача 3 (дуополии Курно и Штакельберга)
Две фирмы производят одинаковый продукт. У обеих фирм предельные издержки постоянны, у фирмы 1 они равны ТС 1 = 20+2Q за шт., а у фирмы 2 они равны ТС 2 =10+3Q за щт. Функция обратного спроса на хлеб есть р = 100 - Q, где Q= q 1 + q 2 .
a) Найдите функцию реакции фирмы 1.
б) Найдите функцию реакции фирмы 2.
в) Найдите объемы выпуска каждой фирмы в равновесии Курно.
г) Найдите объемы выпуска каждой фирмы в равновесии Штакельберга, считая фирму 1 - лидером, а фирму 2-последователем. Посчитайте прибыли.
Решение.
П 1 = TR 1 - ТС 1 = Pq 1 - 20 -2q 1 = 100 q 1 - q 1 2 - q 1 q 2 - 20 -2q 1 ,
П 2 = TR 2 - cq 2 = Pq 1 - 10 -3q 1 = 100 q 2 - q 2 2 - q 1 q 2 - 10 -3q 2 .
Максимизация прибыли:
100 - 2q 1 - q 2 – 2 = 0,
q 1 * = (98 - q 2)/2 = 33 ед.
100 - 2q 2 - q 1 – 3 = 0
q 2 * = (97 - q 1)/2 = 32 ед.
Цена Р = 100 – (32+33) = 35 усл. ед.
Прибыль 1ф 100*33 – 33 2 – 33*32 – 20 – 2*33 = 1069 усл.ед.
Прибыль 2ф 100*32 – 32 2 – 33*32 – 10 – 3*32 = 1014 усл.ед.
Равновесие Штакельберга
П = 100 q 1 - q 1 2 - q 1 *(97 - q 1)/2 - 20 -2q 1 = 49,5 q 1 - q 1 2 / 2 - 20
49.5 – q 1 = 0
Лидер: q 1 = 49,5 ед.
Последователь: q 2 = (97 - q 1)/2 = (97 – 49,5)/2 = 23,75 ед.
Р = 100 – (49,5+23,75) = 26,75 ед.
П1= Pq 1 - 20 -2q 1 = 26,75*49,5 – 20 – 2*49,5 = 1205,125 усл.ед.
П2 = Pq 2 - 10 -3q 2 = 26,75*23,75 – 10 – 3*23,75 = 554,0625 усл.ед.
Задача 4. Предположим, что на вытянутом по прямой пляже протяженностью 100, на расстоянии 60 м и 40 м от его левого и правого концов расположены 2 киоска - А и Б, с которых продается сок. Покупатели располагаются равномерно: на расстоянии 1 м друг от, друга; и каждый докупает 1 стакан сока в течение заданного периода времени. Издержки производства сока равны нулю, а издержки его "транспортировки"" покупателем от лотка до своего места под пляжным зонтом равны 0,5руб. на 1 м пути. Определите цену, по которой будет продаваться 1 ст. сока в киосках А и Б, и количество ст. сока, реализуемых с каждого из них за заданный период.
б) Как изменились бы полученные результаты, если бы каждый из лотков располагался на расстоянии 40м от концов пляжа?
Пусть p 1 и p 2 ≈ цены магазинов А и В , q 1 и q 2 ≈ соответствующие количества проданного товара.
Магазин В может установить цену p 2 > p 2 , но, для того чтобы q 2 превышало 0, его цена не может превышать цену магазина i>А больше, чем на сумму транспортных расходов по доставке товара из А в В . В действительности он будет поддерживать свою цену на уровне несколько более низком, чем [p 1 - t (l - а - b )], стоимости приобретения товара в А и доставки его в В . Таким образом, он получит исключительную возможность обслуживания правого сегмента b , a также потребителей сегмента у, протяженность которого зависит от разницы ценp 1 и p 2 .
Рисунок 3. Модель линейного города Хотеллинга
Точно так же, если q 1 > 0, магазин А будет обслуживать левый сегмент рынка а и сегмент х справа, причем протяженность х с возрастанием p 1 - p 2 будет уменьшаться. Границей зон обслуживания рынка каждым из Двух магазинов будет точка безразличия (Е на рис.) покупателей между ними с учетом транспортных расходов, определяемая равенством
p 1 + tx = p 2 + ty . (1)
Друг:ая связь величин х и у определяется заданным тождеством
а + х + у +b = l . (2)
Подставляя значения у и х (поочередно) из (2) в (1), получим
x = 1/2[l √ a √ b √ (p 2 - p 1)/t ], (3)
y = 1/2[l √ a √ b √ (p 1 - p 2)/t ].
Тогда прибыли магазинов А и В будут
p 1 = p 1 q 1 = p 1 (a + x ) = 1/2(l + a - b )p 1 - (p 1 2 /2t ) + (p 1 p 2 /2t ), (4)
p 2 = p 2 q 2 = p 2 (b + y ) = 1/2(l - a + b )p 2 - (p 2 2 /2t ) + (p 1 p 2 /2t ).
Каждый магазин устанавливает свою цену так, чтобы при существующем уровне цены в другом магазине его прибыль была максимальной. Дифференцируя функции прибыли (4) по p 1 и соответственно по p 2 и приравнивая производные нулю, получим
dp 1 /dp 1 = 1/2(l + a - b ) √ (p 1 /t ) + (p 2 /2t ), (5)
dp 2 /dp 2 = 1/2(l - a + b ) √ (p 2 /t ) + (p 1 /2t )
p* 1 = t [l + (a - b )/3] = 0,5* (100 + (60-40)/3) = 53,33 руб., (6)
p* 2 = t [l + (b - a )/3] = 0,5* (100 + (40-60)/3) = 46,67 руб.,
q* 1 = a + x = 1/2[l + (a - b )/3] = ½* = 53,33, (7)
q* 2 = b + y = 1/2[l + (b - a )/3] = ½* =46,67.
При равенстве удалений
p* 1 = t [l + (a - b )/3] = 0,5* (100 + (40-40)/3) =50 руб., (6)
p* 2 = t [l + (b - a )/3] = 0,5* (100 + (40-40)/3) =50 руб.,
q* 1 = a + x = 1/2[l + (a - b )/3] = ½* =50, (7)
q* 2 = b + y = 1/2[l + (b - a )/3] = ½* =50.
Ответ Для киоска на расстоянии 60 метров цена 53,33 руб. и количество 53,33; а для киоска на расстоянии 40 метров цена 46,67 руб. и количество 46,67.
Во втором случае цена будет 50 руб. и 50 клиентов для каждого из киосков.
Задача 5. Монополист, максимизирующий прибыль, производит товар Х с издержками вида ТС=0,25Q 2 +5Q и может продавать товар на двух сегментах рынка, характеризующихся следующими кривыми спроса: Р =20-q и Р=20 -2q
А) Какие количества продукции и по какой цене монополист будет реализовывать на каждом из сегментов рынка, если ему разрешат проводить ценовую дискриминацию? Найти изменение совокупной прибыли монополиста при переходе к политике ценовой дискриминации.
Приведите графическую иллюстрацию ко всем пунктам решения.
При подсчетах производите округление с точностью до первого знака после запятой.
Выручка на 1 рынке TR 1 = P 1 *Q 1 = (20-q 1)*q 1 =20q 1 -q 2 1 MR=TR’ = 20-2q 1
Выручка на 2 рынке TR 2 = P 2 *Q 2 = (20-2q 2)*q 2 =20q 2 -2q 2 2 MR=TR’ = 20-4q 2
MR=MC – условие максимизации прибыли
Оптимальные цены на сегментах рынка
P 1 = 20 – 12 = 8 ед.; P 2 = 20 – 2×6 = 8 ед.
Таким образом прибыль монополии составила
П=8*12+8*6-0,25*18*18-5*18 = -27 ед.
Лучше понять закономерности поведения фирмы на олигополистическом рынке позволяет анализ дуополии, т.е. простейшей олигополистической ситуации, когда на рынке действуют только две конкурирующие фирмы. Главная особенность моделей дуополий состоит в том, что выручка и, следовательно, прибыль, которую получит фирма, зависят не только от ее решений, но и от решений фирмы-конкурента, также заинтересованной в максимизации своей прибыли. Процесс принятия решения на дуополистическом рынке напоминает домашний анализ отложенной шахматной партии, когда игрок ишет самые сильные ответы на возможные варианты хода своего противника.
Существует множество моделей олигополии, и ни одну из них нельзя считать универсальной. Тем не менее обшую логику поведения фирм на этом рынке они объясняют. Первая и до сих пор актуальная модель дуополии была предложена французским экономистом Огюстеном Курно еше в 1838 году в книге «Исследование математических принципов теории богатства».
Модель Курно позволяет анализировать поведение фирмы-дуополиста исходя из допущения, что ей известен объем выпуска продукции, который ее единственный конкурент уже выбрал для себя. Задача фирмы состоит в том, чтобы определить размер собственного производства, сообразуясь с решением конкурента как с данностью.
На рисунке показано, каким было бы повеление фирмы в таких условиях. Чтобы не усложнять график, мы сделали два дополнительных упрощения. Во-первых, приняли, что оба дуополиста - это совершенно одинаковые, ничем не различающиеся фирмы. Во-вторых, допустили, что предельные издержки обеих фирм постоянны: кривая МС идет строго горизонтально. Последнее допущение, как было показано в главе об издержках, не столь-уж нереалистично. Скорее можно сказать, что оно ограничивает анализ нормальным уровнем загрузки производственных мощностей. То есть на кривой МС рассматривается только средняя часть, лежащая возле технологического оптимума и действительно выглядящая как горизонтально прямая.
Анализ поведения дуополиста в модели Курно был поэтапным. Пусть сначала одному из олигополистов (фирме № 1) будет точно известно, что второй конкурент вообще не планирует выпускать продукиию. В этом случае фирма № 1 фактически станет монополией. Кривая спроса на ее продукцию (D 0 ) совпадет с кривой спроса всей отрасли. Соответственно кривая предельного дохода займет некоторое положение (MR 0 ). Пользуясь обычным правилом равенства предельного дохода и предельных издержек МС = MR , фирма № 1 установит оптимальный для себя объем производства (в изображенном на графике случае - 50 ед.) и уровень иен (Р 1 ).
Ну а что случится, если в следующий раз фирме № 1 станет известно: ее конкурент сам намерен выпустить 50 ед. продукции по цене Р 1 ? На первый взгляд может показаться, что тем самым он исчерпает весь объем спроса и вынудит фирму № 1 отказаться от производства. Внимательно рассмотрев график, мы, однако, убедимся, что это не так. Если фирма № 1 тоже установит цену Р 1 , то спроса на ее продукцию действительно не будет: те 50 ед., которые рынок готов принять по этой цене, уже поставлены фирмой №2. Но если фирма № 1 установит более низкую цену Р 2 , то обший спрос рынка возрастет (в нашем примере составит 75 ед. - см. кривую спроса отрасли D 0), Поскольку фирма № 2 предлагает только 50 ед., то на долю фирмы № 1 останется 25 ед. (75 - 50 = 25). Если же цена будет опушена до Р 3 то, повторив аналогичные рассуждения, можно установить, что потребность рынка в продукции фирмы № 1 составит 50 ед. (100 - 50 = 50).
Легко понять, что, перебирая разные возможные уровни цен, мы будем получать и разные уровни потребности рынка в продукции фирмы № 1. Иными словами, на продукцию фирмы № 1 сформируется новая кривая спроса (на нашем графике - D 1) и соответственно новая кривая предельного дохода (MR 1 )> Снова использовав правило МС = MR , можно определить новый оптимальный объем производства (в нашем случае он составит 25 ед. - см. рис. 9.2).
Уже на этом этапе анализа модель Курно позволяет сделать важные экономические выводы.
1. При олигополии объем произволства больше того уровня, ко- торый установился бы при чистой монополии, но меньше чем сложился бы при совершенной конкурениии:
Q m Меньший
выпуск продукиии при олигополии, чем
при совершенной конкурениии,
доказательства, собственно, не требует:
подобным образом обстоит дело на
любом рынке несовершенной конкурениии.
Так, в нашем примере олигополисты
выпустят 75 ед. продукиии. А при совершенной
конкурениии выпуск был бы больше.
Напомним, что при совершенной конкурениии
кривые спроса и предельного дохода
совпадают (D
=
MR
),
следовательно, точка равновесия по
правилу МС
=
MR
должна установиться на пересечении
кривых D
и МС, что, как видно на графике, обусловит
выпуск 100 ед. Но и то, что олигополистический
выпуск превысит монопольный, тоже
понятно. Ведь к тому объему производства,
которым бы ограничил выпуск монополист
(50 ед.), прибавился еше и выпуск второго
производителя (25 ед.). 2.
Цены при олигополии ниже монополистических,
олнако превышают конкурентные:
Р
m
>Р
olig
>
P
c
(9-2) Ясен
и экономический механизм, приводяший
к установлению описанного уровня иен.
Ограничивая производство и завышая
иены, монополия оставляет неудовлетворенной
часть рыночного спроса. Этот остаток и
служит рынком сбыта для второго дуополиста
(а также третьего, четвертого и
дальнейших конкурентов, если мы перейдем
от дуополистической модели к многофирменной
олигополии), позволяя ему выпустить
дополнительную продукцию, если, конечно,
он уменьшит иены ниже монопольного
уровня (на графике - с
Р 1
до Р
2
).
При этом его иена окажется выше
конкурентного уровня цен (Р 3). суммарные
прибыли обоих дуополисгов окажутся
ниже тех
прибылей, которые на том же рынке
получила бы единственная фирма*
монополист. п
m
>п
olig
>0
(9-3) Мы
опять воздержимся от комментирования
обшей тенденции рынков несовершенной
конкуренции к получению экономической
прибыли. Л то, что их уровень ниже, чем
у монополий, легче всего доказать от
обратного Как
известно, правило МС = MR
обеспечивает максимизацию прибылей. В
самом начале анализа модели Курно мы
убедились, что действуй на рынке только
одна фирма-монополист (ситуация, в
которой про второго дуополиста
известно, что он не планирует выпуск
продукции, фактически равносильна
монополии), она, руководствуясь этим
правилом, установила бы некоторый обьем
производства и уровень цен. При любом
ином обьеме выпуска (и уровне цен) прибыль
будет меньше. Но ведь вмешательство
второго дуополиста, начало выпуска
продукции этой второй фирмой, как раз
и ведут к отклонению обьемов производства
и цен от оптимума. Следовательно, и
суммарная прибыль двух дуополистов
будет не столь велика, как та, что
сумел бы получить чистый
МОНОПОЛИСТУ Очевиден
и обший, к тому же имеюший огромное
практическое значение для менеджера,
вывод:
при олигополии существует не одна, а
множество кривых спроса на продукцию
фирмы, а именно каждому уровню выпуска
одного из олигополистов соответствует
особая кривая спроса на продукцию
остальных олигополистов.
Напомним,
как развивались события в модели: зная,
что вторая фирма не планирует выпуск,
первая вела себя как монополист и имела
кривую спроса D 0 .
Как только фирма № 2 изменила свое
решение и выпустила 50 ед. продукции, для
фирмы № 1 сложилась новая кривая спроса
О,. Очевидно, что рассуждения, которые
мы провели применительно к выпуску
второй фирмой 0 и 50 ед. продукции,
можно повторить применительно к самым
разным уровням производства этой фирмы.
Каждый новый выбор данной фирмы будет
порождать новую кривую спроса на
продукцию ее конкурента. На графике,
в частности, показана кривая спроса на
продукцию фирмы № 1 (см. D 2),
которая возникнет при выпуске фирмой
№
2
ровно
75 ед. продукции. В этом случае оптимальный
обьем производства для самой фирмы
№ 1 составит 12,5 ед. продукции (пересечение
MR
2
и МО.
Иными
словами, для любого олигополиста обьем
рынка не является постоянной величиной,
а прямо зависит от решений конкурентов. Чтобы
лучше уяснить все последствия этой
закономерности, обратимся к рисунку. Обратим
внимание на использованные на нем
непривычные оси. По горизонтали
откладываются размеры производства
одной фирмы, по вертикали - другой.
В таких осях размеры выпуска продукции
фирмой № 1 можно изобразить как кривую
реакции на обьем производства фирмы №
2.
Аналогичным образом выпуск продукции
фирмой № 2 может быть представлен как
функиия от объема производства фирмы
№ 1: Q(1)
= ф
Q
(2),
Q
(2)
=
ф Q(1)
где Q(1)
- размер производства фирмы № 1;
Q(2)
- размер производства фирмы № 2. При
такой формулировке задачи мы фактически
пытаемся понять, что получится из
одновременных стараний двух фирм
подстроить свой объем производства
под объем производства другой фирмы. Посмотрим,
смогут ли обе фирмы установить
взаимоприемлемые объемы производства.
Все данные для графика мы взяли из
предыдущего примера. Так, если о фирме
№ 2 известно, что она собирается
выпустить 75 ед. продукции, то фирма № 1
примет решение о выпуске 12,5 ед. (точка
А).
Но если фирма № 1 действительно выпустит
12,5 ед. продукции, то, как видно на графике,
фирма № 2 в соответствии со своей кривой
реакции должна выпустить не 75, а 42,5 ед.
(точка В).
Но такой уровень выпуска продукции
конкурентом вынудит фирму № 1 выпустить
не 12,5 ед., как она собиралась, а 29 ед.
продукции (точка О и т.д. Легко
заметить, что уровень производства,
который фирма устанавливает исходя
из сложившегося размера производства
конкурента, каждый раз оказывается
таким, что заставляет последнего
пересмотреть этот уровень. Это
вызывает новую корректировку объема
производства фирмы № 1, что в свою очередь
снова изменяет планы фирмы № 2. То
есть ситуация является неустойчивой,
неравновесной. Однако
существует и точка устойчивого равновесия
- это точка пересечения кривых реакции
обеих фирм (на графике - точка
О).
В нашем
примере фирма № 1 выпускает 33,3 ед. исходя
из того, что конкурент выпустит столько
же. А для последнего выпуск 33,3 ед.
действительно является оптимальным.
Каждая из фирм выпускает обьем продукции,
максимизирующий ее прибыли при данном
объеме производства конкурента. Ни
одной из фирм не выгодно менять объем
производства, следовательно, равновесие
устойчиво. Оно получило в теории название
равновесия Курно. Под
равновесием
Курно
понимается такое сочетание объемов
выпуска каждой фирмы, при котором ни у
одной из них нет стимулов для изменения
своего решения: прибыль каждой фирмы
максимальна при условии, что конкурент
сохранит данный объем выпуска.
или по-другому
в точке равновесия Курно ожидаемый
конкурентами объем выпуска продукции
любой из фирм совпадает с фактическим
и при этом является оптимальным. Существование
равновесия Курно свидетельствует о
том, что олигополия как тип рынка
может быть
устойчивой, что она
не обязательно
ведет к череде непрерывных, болезненных
переделов рынка олигополистами.
Математическая теория игр, однако,
показывает, что равновесие Курно при
одних допущениях о логике поведения
дуополистов достигается, а при других
- нет. При этом решающее значение для
достижения равновесия имеет понятность
(предсказуемость) действий
партнера-конкурента и его готовность
к кооперативному поведению по
отношению к сопернику. Допущения Курно: Фирмы производят однородный товар Фирмам известна кривая(объем) рыночного спроса Фирмы принимают решения об объеме производства одновременно, самостоятельно и независимо друг от друга Фирмы при принятии решения по объему производства считают объем производства своего конкурента известным и полноценным РАВНОВЕСИЕ КУРНО -
достигается на рынке тогда, когда в условиях дуополии каждая фирма, действуя самостоятельно, выбирает такой оптимальный объем производства, какой ожидает от нее другая фирма. Равновесие Курно возникает как точка пересечения кривых реагирования двух фирм. 9. Модель Курно: поведение фирмыдуополиста в краткосрочном и долгосрочном периодах. § КУРНО Антуан Огюстен (1801-1877), французский экономист, математик и философ, предшественник математической школы буржуазной политической экономии. В работе "Исследования математических принципов теории богатства" (1838) он предпринял попытку исследовать экономические явления с помощью математических методов. Им впервые была предложена формула D = F(P), где D - спрос, Р - цена, согласно которой спрос является функцией цены. Модель Курно исходит из того, что на рынке действуют только две фирмы и каждая фирма принимает цену и объем производства конкурента неизменными, а затем принимает свое решение. Каждый из двух продавцов допускает, что его конкурент всегда будет удерживать свой выпуск стабильным. В модели предполагается, что продавцы не узнают о своих ошибках. Фактически же эти предположения продавцов о реакции конкурента, очевидно, изменятся, когда они узнают о своих предыдущих ошибках. Модель Курно
Рис. Модель дуополии Курно Предположим, что первым начинает производство дуополист 1, который в первое время оказывается монополистом. Его выпуск (рис.) составляет q1, что при цене Р позволяет ему извлекать максимальную прибыль, ибо в этом случае MR = = МС = 0. При данном объеме выпуска эластичность рыночного спроса равна единице, а общая выручка достигнет максимума. Затем производство начинает дуополист 2. В его представлении объем выпуска сдвинется вправо на величину Oq1 и совместится с линией Aq1. Сегмент AD" кривой рыночного спроса DD он воспринимает как кривую остаточного спроса, которой соответствует кривая его предельной выручки MR2. Выпуск дуополиста 2 будет равен половине неудовлетворенного дуополистом 1 спроса, т. е. сегмента q1D", а величина его выпуска равна q1q2, что даст возможность получить максимум прибыли. Данный выпуск составит четверть всего рыночного объема спроса при нулевой цене, OD"(1/2 x 1/2 = 1/4). На втором шаге дуополист 1, допуская, что выпуск дуополиста 2 сохранится стабильным, решит покрыть половину оставшегося все еще неудовлетворенным спроса. Исходя из того что дуополист 2 покрывает четверть рыночного спроса, выпуск дуополиста 1 на втором шаге составит (1/2)x(1- 1/4), т.е. 3/8 всего рыночного спроса, и т. д. С каждым последующим шагом выпуск дуополиста 1 будет уменьшаться, в то время как выпуск дуополиста 2 будет увеличиваться. Такой процесс окончится уравновешиванием их выпуска, и тогда дуополия достигнет состояния равновесия Курно. Модель Курно многие экономисты считали наивной по следующим основаниям. Модель допускает, что дуополисты не делают никаких выводов из ошибочности своих предположений относительно реакции конкурентов. Модель закрыта, т. е. число фирм ограничено и не меняется в процессе движения к равновесию. Модель ничего не говорит о возможной продолжительности этого движения. И наконец, нереальным представляется предположение о нулевых операционных издержках. Равновесие в модели Курно можно изобразить через кривые реагирования, показывающие максимизирующие прибыль объемы выпуска, который будет осуществляться одной фирмой, если даны объемы выпуска конкурента. На рис. 34.2 кривая реагирования I представляет максимизирующий прибыль выпуск первой фирмы как функцию от выпуска второй. Кривая реагирования II представляет максимизирующий прибыль выпуск второй фирмы как функцию от выпуска первой. Рис. 34.2. Кривые реагирования Кривые реагирования можно использовать для того, чтобы-показать, как устанавливается равновесие. Если следовать стрелкам, нарисованным от одной кривой к другой, начиная с выпуска q1 = 12 000, то это приведет к осуществлению равновесия Курно в точке Е, в которой каждая фирма производит 8000 изделий. В точке Е пересекаются две кривые реагирования.
"
